, 
ó 
con una representación basada en la
interpretación del problema.
. A veces, se utilizó la posición vacía para
evitar este problema _ _ _; pero los escribas debían tener
mucho cuidado para no fallar.
(en
su notación 5p:Rm:15) y 
(en
su notación 5m:Rm:15), soluciones que consideró meras
manipulaciones "sutiles, pero inútiles".
y
m.d.m. 
dando
las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que
siempre que aparece una de estas expresiones aparece también
su conjugada, como en las ecuaciones de 2º grado que
resuelve correctamente. Da un método para calcular
. Pascal (1623-1662) usó el método de
inducción matemática, en su formulación abstracta, tal y
como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al
triangulo numérico que lleva su nombre. La demostración por
inducción consta siempre de dos partes: el paso base y el
paso inductivo, los cuales se describen a continuación en
notación moderna:
)
donde cada elemento 
,
es decir que todos los números naturales
fue
introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido
por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de
1801.
, 
,
... Sin embargo e y 1/e sí que son trascendentes.
y
si 
pero
no desarrolló más su teoría.En español, las centenas tienen varias irregularidades. La centena se expresa como "cien" si va sola y "ciento" si va acompañada de decenas o unidades. El plural es "cientos". La palabra "cientos" se une al número que está multiplicando a "cien", pero pueden surgir irregularidades en dicho número o en la palabra entera.
LA HISTORIA DE LOS NÚMEROS Sigue los demás temas de Recursos Didácticos Gratis a pie de página...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27..... Un número es una
entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de
un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan
con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números
de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de
orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En
matemática, la definición de número se extiende para incluir
abstracciones tales como números fraccionarios, negativos,
irracionales, trascendentales y complejos. Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos. Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81. Una vez
entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de
los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona
todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de
escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es
la numeración de posición gracias al invento del cero, con
una base constante. Sin embargo, si
uno define el concepto "cero" como el número 100, y el
concepto "número" como "los números mayores a 100", entonces
las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican,
no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su
formalización. Sistemas de numeración híbridos. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio, etiope y maya. Este último utilizaba símbolos para el "1", el "5" y el "0". Siendo este el primer uso documentado del cero tal como lo conocemos hoy (Año 36 a.C) ya que el de los babilonios solo se utilizaba entre otros dígitos. Sistemas de
numeración posicionales. La posición de las cifras nos
indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general
la potencia de la base. Solo tres culturas además de la
india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El
sistema Chino (300 a.C.) que no disponía de 0, el sistema
Babilónico (2000 a.C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo
hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0"
hasta el 300 a.C.
FRACCIONES SEXAGESIMALES BABILÓNICAS
(Documentos cuneiformes) En
las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi
(1800-1600 a.C.) aparece el sistema posicional, antes
referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijo, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a1, y calculaban b1 = a / a1 (una mayor y otra menor) y entonces a2 = (a1 + b1) / 2 es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos b2 = a / a2 y a3 = (a2 + b2) / 2 obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a3 partiendo de a1 = 1;30 (véase algoritmo babilónico). Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo periódico. Descubrimiento de los inconmensurables Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es: Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como p / q con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que d2 = s2 + s2 , (d / s)2 = p2 / q2 = 2, entonces p2 = 2q2 y por tanto p2 debe ser par y también p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos p = 2r, entonces 4r2 = 2q2 y 2r2 = q2, entonces q2 es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción. La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada. El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón a / b = c / d si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ma = nb entonces mc = nd (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual). En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las m / n tales que ma = nb y las que ma = nb. En
cualquier sistema de numeración posicional surge el problema
de la falta de unidades de determinado orden, por ejemplo,
en el sistema babilónico el número 22,
sobre base 60 puede ser Hacia el siglo III a.C. los griegos comenzaron a representar la nada mediante una "o" que significa Oudos (vacío), y que no dio origen al cero ya que este surge en la India mucho después. La única notación ordinal del viejo mundo fue la sumeria, donde el cero se representaba por un vacío. La primera expresión conocida del sistema de numeración vigesimal prehispánico data del siglo III a.C. Es una estela olmeca tardía, la cual ya contaba tanto con el concepto de "orden" como el de "cero". Los mayas inventaron cuatro signos para el cero; los principales eran: el corte de un caracol para el cero matemático, y una flor para el cero calendárico (que implicaba, no la ausencia de cantidad, sino el cumplimiento de un ciclo). Brahmagupta, en el 628 de nuestra era, considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero, que él llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece: Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?) No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fudamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal. Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío, y fue necesario que transcurrieran varios siglos (hasta el renacimiento) para que fuese recuperado. Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo, y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos. Trasmisión del sistema indo-arábigo a Occidente Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro, El Liber abaci, que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema!), y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: 1,1,2,3,5,8,...,un con un = un − 1 + un − 2. No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron los árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo, se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas, hasta el triunfo final de éstos últimos. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos, desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular N y sea a el mayor número cuyo cuadrado es menor que N y b = N − a2, tenemos: N − a = (N − a2) / (N + a) = b / (2.a + N − a) = b / (2.a + (b / 2.a + ...)) que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)... Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad, pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales. Primera formulación de los números complejos Los números complejos eran en pocos casos aceptados como coeficientes de ecuaciones (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno (S. Stevin) como raíces, llamándolos ficticios. A pesar de esto Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y Bombelli (1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.
Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos
partes tales que su producto valga 40 obtiene como
soluciones En
la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de
Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen
en los pasos intermedios raíces de números negativos. En
esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo que
llamó "una idea loca", esta era que los radicales
podían tener la misma relación que los radicandos y operar
con ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto
posterior en 20 años utiliza p.d.m. (
+ i) para Generalización de las fracciones decimales Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista, y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a éstas frente a las sexagesimales, y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación, su uso se generalizó con la obra que Simón Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1ª dice que la Disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1ª posición decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente se dice segunda (2). Es decir, los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3), ó 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade que no se utiliza ningún número roto (fracciones), y el número de los signos, exceptuando el 0, no excede nunca a 9. Esta notación la simplificó Jost Burgüi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un "." en la parte superior de las unidades 372·43, poco después Magín (1555-1617) usó el "." entre las unidades y las décimas: 372.43, uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La "," también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willerbrod Snellius: 372,43. El principio de inducción matemática Su
antecedente es un método de demostración, llamado inducción
completa, por aplicación reiterada de un mismo silogismo que
se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575)
para demostrar que la suma de los primeros
n números naturales
impares es el cuadrado del n-ésimo
término, es decir Si
S es un subconjunto de
los números naturales (denotado por
entonces De manera intuitiva se entiende la inducción como un efecto dominó. Suponiendo que se tiene una fila infinita de fichas de dominó, el paso base equivale a tirar la primera ficha; por otro lado, el paso inductivo equivale a demostrar que si alguna ficha se cae, entonces la ficha siguiente también se caerá. La conclusión es que se pueden tirar todas las fichas de esa fila. La interpretación geométrica de los números complejos Esta
interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que
hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del
álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en
1631, con intentos de demostración realizados por D’Alembert,
Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores
eran falsas y dando una demostración correcta primero para
el caso de coeficientes, y después de complejos. También
trabajó con los números enteros complejos que adoptan la
forma a + bi, con
a y
b enteros. Este símbolo
i para La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero pasó desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después. Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer. Descubrimiento de los números trascendentes La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Euler demostró que e y e2 son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman. Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma a1 / 10 + a2 / 102! + a3 / 103! + ... (p.e. 0,101001.....) son trascendentes. Hermite (1822-1901) en una memoria “Sobre la función exponencial” de 1873 demostró la trascendencia de e probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: c0 + c1e + ...... + cnen = 0 no puede existir. Lindeman (1852-1939) en la memoria “Sobre el número e” de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la ecuación: c1ex + c2ex + ............ + cnex = 0 con x y ci algebraicos, por tanto la ecuación eix + 1 = 0 no tiene solución para x algebraico, pero haciendo x = π tenemos eπi + 1 = 0, entonces x = πi no puede ser algebraico y como i lo es entonces π es trascendente. El
problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si
ab, con a
algebraico distinto de cero y de uno, y b irracional
algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por
Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son
trascendentes o no: ee, Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración lógica sobre bases aritméticas.
Bolzano había hecho un intento de construir los números
reales basándose en sucesiones de números racionales, pero
su teoría pasó desapercibida y no se publicó hasta 1962.
Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud
tiempo, a partir de particiones de números racionales: si
a = n1 / m1,
cuando Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetización de los números reales:
CONTANDO LOS NÚMEROS EN ESPAÑOL
100 cien Los millares son completamente regulares. Para expresar números, la palabra "mil" permanece invariante, pero para expresar una cantidad indeterminada se empleará "millares" o "miles": "Miles de personas se manifestaron". Aquí explicaremos cómo se escriben los números de 1.000 a 999.000: 1.000 mil En años milenio.
Los números mayores que un
millón no se utilizan mucho en la lengua informal, excepto con un efecto
dramático: "¡Te lo he dicho mil millones de veces!" o para referirse a
grandes cantidades de dinero. Y se escriben con número: cualquier número que por su
complejidad resulte más claro en su lectura. Para traducir cualquier número a cuatro idiomas: chequefacility.org/ Pelis para explotación didáctica con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..."
Músicas para explotación didáctica con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..." Expresiones idiomáticas - Refranes con las palabras "NÚMEROS - VALORES y etc..."
Fuente de estos algunos artículos: wikipedia
.................................................................................... Si encuentras algún error, o conoces información que deba ser incluida, o eres autor de alguna fotografía y/o artículo relacionado a cualquier asunto y deseas que se te haga referencia con gusto lo haré. Por otra parte si prefieres que se retire total o parcialmente el artículo/imagen contáctame mediante este correo y lo haré en el menor plazo posible: esf@espanolsinfronteras.com
....................................................................................
|
|
.......... |
|
.......... |
Este sitio se actualizó por última vez el 16/06/2008